Алексей Горбунов, родившийся в Киеве, стал третьим ребенком в семье. Его отец Сергей Евгеньевич из сибирского Бийска, а мама Людмила Игоревна родом из маленького украинского поселка. В детстве Алексей впитывал культуру и традиции обоих народов.
Работая инженером-технологом, его мама получала зарплату 180 рублей, а папа, проектировщик, — 300 рублей. В то время как 14-летний Алексей, подрабатывая фарцовщиком, смог накопить 316 рублей, перепродавая жвачки и джинсы. Когда его папа обнаружил тайник, он пришел в ярость. Алексей получил суровое наказание, так как его отец верил в идеи коммунизма, а его занятие было в противоречии с этими принципами. Месяц спустя он снова вернулся к своему делу. Однажды, будучи задержанным милицией, Алексей осознал, что ему нужно изменить свою жизнь, и решил записаться в театральную студию.
Хотя в 1978 году он не смог поступить в Киевский театральный институт имени Карпенко-Карого, так как не был членом ВЛКСМ, ему удалось устроиться монтировщиком в Театр русской драмы имени Леси Украинки. Там он встретил Аду Роговцеву, чей муж вел курс в институте. Благодаря поддержке Константина Степанкова Алексей все-таки стал студентом театрального вуза и в дальнейшем был одним из самых выдающихся его студентов.
Вскоре после выпуска он дебютировал в фильме «Груз без маркировки», получив главную роль. Горбунов продолжал карьеру, снимаясь в различных фильмах и театрах, однако в 90-е годы с кризисом в киноиндустрии ему пришлось зарабатывать на жизнь частными перевозками. Проблемы на этом фоне усугублялись, и актер пробовал алкоголь и наркотики, пока его не поддержал режиссер Владимир Попков, предложив роль в новом проекте.
Некоторое время спустя его карьера стремительно развивалась. Он принимал участие в успешных проектах, таких как драма «Страна глухих». В 2014 году, однако, Алексей решил оставить российские проекты и вновь вернуться на Украину, где снялся в новых фильмах и сериалах, а также стал участвовать в европейских проектах.
Его старшая дочь Анастасия, родившаяся от первого брака с художницей Светланой Лопуховой, продолжает продвигаться в своей карьере как дизайнер. После трагической утраты своего младшего брата в 2015 году Алексей нашел поддержку в семье.
С началом военных действий в 2022 году артист вновь столкнулся с переделкой своей жизни. Он отправил семью в Голландию, однако сам решил остался на Украине, продолжая работу над новыми проектами и делясь воспоминаниями о своих достижениях.